統(tǒng)計 - 線性回歸
一旦使用共同關(guān)系分析建立了變量之間的關(guān)系程度，自然地深入了解關(guān)系的性質(zhì)。 回歸分析有助于確定變量之間的因果關(guān)系。 如果可以使用圖形方法或代數(shù)方法預(yù)測自變量的值，則可以預(yù)測其他變量（稱為因變量）的值。
圖形方法
它涉及繪制一個具有X軸上的自變量和Y軸上的因變量的散點(diǎn)圖。 之后，以這樣的方式繪制線，使得其穿過大部分分布，其中剩余點(diǎn)幾乎均勻地分布在線的任一側(cè)。
回歸線被稱為總結(jié)數(shù)據(jù)的一般運(yùn)動的最佳擬合線。 它顯示對應(yīng)于另一個的平均值的一個變量的最佳平均值。 回歸線基于這樣的標(biāo)準(zhǔn)，即它是使因變量的預(yù)測值和觀測值之間的偏差的平方和最小化的直線。
代數(shù)法
代數(shù)方法開發(fā)兩個回歸方程，X在Y上，Y在X上。
Y對X的回歸方程
$ {Y = a + bX} $
其中 -
$ {Y} $ =從屬變量
$ {X} $ =獨(dú)立變量
$ {a} $ =顯示Y截距的常量
$ $ =顯示線的斜率的常數(shù)
a和b的值通過以下正規(guī)方程獲得:
$ {\\ sum Y = Na + b \\ sum X \\\\ [7pt]
\\ sum XY = a \\ sum X + b \\ sum X ^ 2
} $
其中 -
$ {N} $ =觀察次數(shù)
X在Y上的回歸方程
$ {X = a + bY} $
其中 -
$ {X} $ =從屬變量
$ {Y} $ =獨(dú)立變量
$ {a} $ =顯示Y截距的常量
$ $ =顯示線的斜率的常數(shù)
a和b的值通過以下正規(guī)方程獲得:
$ {\\ sum X = Na + b \\ sum Y \\\\ [7pt]
\\ sum XY = a \\ sum Y + b \\ sum Y ^ 2
} $
其中 -
$ {N} $ =觀察次數(shù)
例子
問題陳述:
研究者發(fā)現(xiàn)父親和兒子的體重趨勢之間存在著一種共同關(guān)系。 他現(xiàn)在對從給定數(shù)據(jù)的兩個變量開發(fā)回歸方程感興趣:
| 父親重量（公斤） | 69 | 63 | 66 | 64 | 67 | 64 | 70 | 66 | 68 | 67 | 65 | 71 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 兒子重量（Kg） | 70 | 65 | 68 | 65 | 69 | 66 | 68 | 65 | 71 | 67 | 64 | 72 |
發(fā)展
Y對X的回歸方程。
on的回歸方程。
解決方案:
| $ {X} $ | $ {X ^ 2} $ | $ {Y} $ | $ {Y ^ 2} $ | $ {XY} $ |
|---|---|---|---|---|
| 69 | 4761 | 70 | 4900 | 4830 |
| 63 | 3969 | 65 | 4225 | 4095 |
| 66 | 4356 | 68 | 4624 | 4488 |
| 64 | 4096 | 65 | 4225 | 4160 |
| 67 | 4489 | 69 | 4761 | 4623 |
| 64 | 4096 | 66 | 4356 | 4224 |
| 70 | 4900 | 68 | 4624 | 4760 |
| 66 | 4356 | 65 | 4225 | 4290 |
| 68 | 4624 | 71 | 5041 | 4828 |
| 67 | 4489 | 67 | 4489 | 4489 |
| 65 | 4225 | 64 | 4096 | 4160 |
| 71 | 5041 | 72 | 5184 | 5112 |
| $ {\\ sum X = 800} $ | $ {\\ sum X ^ 2 = 53,402} $ | $ {\\ sum Y = 810} $ | $ {\\ sum Y ^ 2 = 54,750} $ | $ {\\ sum XY = 54,059} $ |
Y對X的回歸方程
Y = a + bX
其中，a和b通過正規(guī)方程獲得
$ {\\ Rightarrow} $ 810 = 12a + 800b ...（i）
$ {\\ Rightarrow} $ 54049 = 800a + 53402 b ...（ii）
將方程（i）乘以800，方程（ii）乘以12，得到:
96000 a + 640000 b = 648000 ...（iii）
96000 a + 640824 b = 648588 ...（iv）
從（iii）中減去方程（iv）
-824b = -588
$ {\\ Rightarrow} $ b = -.0713
將b的值代入eq。 （一世）
810 = 12a + 800（-0.713）
810 = 12a + 570.4
12a = 239.6
$ {\\ Rightarrow} $ a = 19.96
因此，X上的方程Y可寫為
Y對X的回歸方程
X = a + bY
其中，a和b通過正規(guī)方程獲得
$ {\\ Rightarrow} $ 800 = 12a + 810a + 810b ...（V）
$ {\\ Rightarrow} $ 54,049 = 810a + 54,750 ...（vi）
將eq（v）乘以810，將eq（vi）乘以12，得到
9720 a + 656100 b = 648000 ...（vii）
9720 a + 65700 b = 648588 ...（viii）
從等式vii減去等式viii
900b = -588
$ {\\ Rightarrow} $ b = 0.653
將等式（v）中的b的值代入等式
800 = 12a + 810（0.653）
12a = 271.07
$ {\\ Rightarrow} $ a = 22.58
因此，X和Y的回歸方程是
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