閱讀(6.1k) 書(shū)簽贊(0) 我要糾錯(cuò)

Assembly 浮點(diǎn)表示法

2018-11-01 09:55 更新

非整形的二進(jìn)制數(shù)

在第一章討論數(shù)制的時(shí)候，我們只討論了整形。顯然，和十進(jìn)制一樣，其它進(jìn)制必須也能表示非整形數(shù)。在十進(jìn)制中，在小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)字關(guān)聯(lián)了10的負(fù)乘方值：

不必驚訝，二進(jìn)制也是以同樣的方法表示：

這個(gè)辦法與第一章中的整形辦法相結(jié)合就可以用來(lái)轉(zhuǎn)換一個(gè)一般數(shù)值：

將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制也不是很難。一般來(lái)說(shuō)，需將十進(jìn)制數(shù)分成兩塊：整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分。使用第一章中的方法來(lái)將整數(shù)部分轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制。分?jǐn)?shù)部分的轉(zhuǎn)換可以使用下面描述的方法。

考慮一個(gè)用a、b、c···標(biāo)記比特位的二進(jìn)制分?jǐn)?shù)。這個(gè)數(shù)用二進(jìn)制表示為：

0.abcdef...

將此數(shù)乘2.新得到的數(shù)的二進(jìn)制表示將是：

a.bcdef...

注意，第一個(gè)比特位現(xiàn)在在權(quán)值為1的位置。用0替換a得到：

0.bcdef...

再乘以2得到：

b.cdef...

現(xiàn)在第二個(gè)比特位(b)在權(quán)值為1的位置。重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到得到了需要的盡可能多的比特位。圖6.1展示了一個(gè)實(shí)例：將0.5625轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制。這種方法當(dāng)分?jǐn)?shù)部分為0了才停止。

另一個(gè)例子，將23.85轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制。將整數(shù)部分

轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制是容易的，但是分?jǐn)?shù)部分呢？圖6.2展示了這個(gè)計(jì)算的開(kāi)始部分。如果你仔細(xì)看了這個(gè)數(shù)值，就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)無(wú)限循環(huán)。這就意味著0.85是一個(gè)無(wú)限循環(huán)的二進(jìn)制數(shù)(與基數(shù)為10的無(wú)限循環(huán)十進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng))。這里顯示了這個(gè)數(shù)的計(jì)算模式。在這個(gè)模式中，你可以看到

。因此，

。

上面計(jì)算的一個(gè)重要結(jié)論是23.85不可以用有限的比特位來(lái)精確表示成二進(jìn)制數(shù)。(就像

不能表示成有限的十進(jìn)制數(shù)。)正如這一章展示的，C語(yǔ)言中的float和double變量是以二進(jìn)制儲(chǔ)存的。因此，類似23.85的數(shù)值不能精確地儲(chǔ)存到這些變量中。只能儲(chǔ)存23.85的近似值。

為了簡(jiǎn)化硬件，采用固定的格式來(lái)儲(chǔ)存浮點(diǎn)數(shù)。這種格式采用科學(xué)計(jì)數(shù)法(但是是在二進(jìn)制中，是2的乘方,不是10)。例如，23.85或10111.11011001100110...?將儲(chǔ)存為：

(其中指數(shù)(100)是二進(jìn)制形式)。規(guī)范的浮點(diǎn)數(shù)有下面的形式：

其中1:sssssssssssss是有效數(shù)而eeeeeeee是指數(shù)。

IEEE浮點(diǎn)表示法

IEEE(Institute of Electrical and Electronic Engineers，電氣與電子工程師學(xué)會(huì))是一個(gè)國(guó)際組織，它已經(jīng)設(shè)計(jì)了存儲(chǔ)浮點(diǎn)數(shù)的特殊的二進(jìn)制格式。這種格式應(yīng)用在大多數(shù)(但不是全部)現(xiàn)在的電腦上。通常電腦本身的硬件就支持它。例如，Intel的數(shù)學(xué)協(xié)處理器(從Pentium開(kāi)始，就嵌入到所有它的CPU中了)就使用它。IEEE為不同的精度定義了不同的格式：?jiǎn)位螂p精度。在C語(yǔ)言中，float變量使用單精度，而double變量使用雙精度。

Intel數(shù)學(xué)協(xié)處理器使用第三種，更高的精度，稱為擴(kuò)展精度。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)協(xié)處理器自身里的所有數(shù)據(jù)都是這種格式。當(dāng)數(shù)據(jù)從協(xié)處理器儲(chǔ)存到內(nèi)存中時(shí)，將自動(dòng)轉(zhuǎn)換成單或雙精度。跟IEEE的浮點(diǎn)雙精度格式相比，擴(kuò)展精度使用了一種有細(xì)微差別的格式，所以將不在這討論。

IEEE單精度

單精度浮點(diǎn)使用32個(gè)比特位來(lái)編碼數(shù)字。通常它精確到小數(shù)點(diǎn)后七位。相比于整數(shù)，浮點(diǎn)數(shù)的儲(chǔ)存格式更復(fù)雜。圖6.3展示了IEEE單精度數(shù)的基本格式。這種格式有幾個(gè)古怪的地方。負(fù)的浮點(diǎn)數(shù)并不使用補(bǔ)碼表示法。它們使用符號(hào)量值表示法。如圖顯示，第31位決定數(shù)的符號(hào)。二進(jìn)制的指數(shù)并不會(huì)直接儲(chǔ)存。取而代之的是將指數(shù)和7F的和儲(chǔ)存到位23 30中。這個(gè)偏置指數(shù)總是非負(fù)的。

分?jǐn)?shù)部分假定是一個(gè)規(guī)范的有效數(shù)(格式為1:sssssssss)。因?yàn)榈谝粋€(gè)比特位總是1,所以領(lǐng)頭的1是不儲(chǔ)存的！這就允許在后面儲(chǔ)存一額外的比特位，稍微地?cái)U(kuò)展了精度。這個(gè)想法稱為隱藏一的表示法。

怎樣儲(chǔ)存23.85呢？首你必須永遠(yuǎn)記?。哼@些字先，它是個(gè)正數(shù)，所以符號(hào)位為0。其次，真實(shí)的指數(shù)為4,所以偏置指數(shù)為

。最后，分?jǐn)?shù)部分應(yīng)表示為01111101100110011001100 (記住領(lǐng)頭的1是隱藏的)。把這些放到一起得到(為了幫助澄清浮點(diǎn)格式的不同部分，符號(hào)位和分?jǐn)?shù)部分都加了下劃線，而且所有的比特位都分成了四個(gè)比特位一組。)：

這不是準(zhǔn)確的23.85(因?yàn)樗且粋€(gè)無(wú)限循環(huán)的二進(jìn)制數(shù))。如果你將上面的數(shù)值轉(zhuǎn)換回十進(jìn)制形式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它大約等于23.849998474。這個(gè)數(shù)與23.85非常接近，但是它并不準(zhǔn)確。實(shí)際上，在C語(yǔ)言中，23.85的描述和上面的是一樣的。因?yàn)樵摂?shù)的精確描述被截去后的最左邊的位為1,所以最后一個(gè)比特位經(jīng)四舍五入后為1。因此單精度數(shù)23.85將表示成十六進(jìn)制41 BE CC CD。將這個(gè)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制得23.850000381，這個(gè)數(shù)就更接近23.85。怎么描述-23.85呢？只需要改變符號(hào)位得：C1 BE CC CD。不要使用補(bǔ)碼！

IEEE浮點(diǎn)格式中，e和f 的某些組合有特殊的含義。表6.1描述了這些特殊的值。溢出或除以0將產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮數(shù)。一個(gè)無(wú)效的操作將產(chǎn)生一個(gè)不確定的結(jié)果，例如：試圖求一個(gè)負(fù)數(shù)的平方根，將兩個(gè)無(wú)窮數(shù)相加，等等。規(guī)范的單精度數(shù)的數(shù)量級(jí)范圍為從

非規(guī)范化數(shù)

非規(guī)范化數(shù)可以用來(lái)表示那些值太小了以致于不能以規(guī)范格式描述的數(shù)(也就是小于

)。例如：考慮下數(shù)

。在約定的規(guī)范格式中，這個(gè)指數(shù)太小了。但是，它可以用非規(guī)范的格式來(lái)描述：

。為了儲(chǔ)存這個(gè)數(shù)，偏置指數(shù)被置為0(看表6.1)，而且分?jǐn)?shù)部分是以

方式書(shū)寫(xiě)得到的所有有效數(shù)(也就是說(shuō)儲(chǔ)存了所有的比特位，包括小數(shù)點(diǎn)左邊的1).

將表示成：

IEEE雙精度

IEEE雙精度使用64位來(lái)表示數(shù)字，而且通常精確到小數(shù)點(diǎn)后15位。如圖6.4所示，基本的結(jié)構(gòu)和單精度是非常相似的。只是相比于單精度，它使用了更多的位來(lái)描述偏置指數(shù)(11)和分?jǐn)?shù)(52)。

更大范圍的偏置指數(shù)會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)后果。一是計(jì)算的將是真實(shí)指數(shù)和3FF(1023)的和(而不是單精度中的7F)。二是，允許描述更大范圍的真實(shí)的指數(shù)(因此也可以描述更大范圍的數(shù)量級(jí))。雙精度的數(shù)量級(jí)范圍大約為從